Giải phương trình bậc 4 dạng tổng quát dạng ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 là một trong những dạng bài tập khó, đây là kiến thức nâng cao cho các em học sinh giỏi. Trong phạm vi bài viết này, chúng ta chỉ giải phương trình hệ đối xứng bậc bốn và dạng đặc biệt.
Vậy cách giải phương trình bậc 4 cụ thể như thế nào? chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết này và vận dụng giải một số bài tập phương trình bậc 4 để hiểu rõ hơn.
Cách giải phương trình bậc 4
1) Cách giải phương trình bậc 4 dạng trùng phương
Phương trình trùng phương có dạng: ax4 + bx2 + c = 0
* Cách giải:
Để giải phương trình bậc 4 trùng phương ta đặt ẩn phụ: t = x2 (t≥0).
Cách giải phương trình bậc 4 dạng: (x + a)4 + (x + b)4 = c
* Cách giải:
Để giải phương trình bậc 4 dạng này ta đặt ẩn phụ:
Suy ra:
Khi đó phương trình có dạng:
Đặt u = t2 điều kiện u≥0, khi đó phương trình có dạng:
Giải phương trình bậc 2 này đối chiếu điều kiện nghiệm.
Cách giải phương trình hệ đối xứng bậc bốn
Phương trình bậc 4 dạng đối xứng: ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0
* Cách giải:
Để giải phương trình bậc 4 dạng này ta đặt ẩn phụ:
Bài tập giải phương trình hệ đối xứng bậc bốn
* Bài tập 1: Giải phương trình bậc 4 đối xứng sau:
2×4 + 3×3 – x2 + 3x + 2 = 0 (*)
* Lời giải:
Phương trình này là phương trình với các hệ số có tính đối xứng.
Ta thấy, x = 0 không là nghiệm của phương trình (*) nên ta chia 2 vế của (*) cho x2 ta được:
Đặt: ta có:
2(t2 – 2) + 3t – 1 = 0
⇔ 2t2 + 3t – 5 = 0
⇔ (t – 1).(t + 5/2) = 0
⇔ t – 1 = 0 hoặc t + 5/2 = 0
⇔ t = 1 hoặc t = -5/2
+) Với t = 1, ta có:
Có Δx = (-1)2 – 4.1.1 = 5 >0
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
+) Với t =-5/2, ta có:
Có Δx = 52 – 4.2.2 = 9 >0
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
Kết luận: Phương trình (*) có tập nghiệm:
* Lưu ý:
- a) Trong phương trình đối xứng, nếu a là nghiệm thì 1/a cũng là nghiệm.
- b) Phương trình đối xứng bậc lẻ bao giờ cũng có một trong các nghiệm là x = -1.
- c) Phương trình đối xứng bậc chẵn 2n được đưa về phương trình bậc n bằng cách đặt ẩn phụ t = x + 1/x
* Bài tập 2: Giải phương trình bậc 4 trùng phương sau: x4 + 7×2 – 8 = 0 (*)
* Lời giải:
– Ta đặt t = x2 (điều kiện: t≥0).
Phương trình (*) ⇔ t2 + 7t – 8 = 0
Phương trình bậc 2 này có a + b + c = 1 + 7 – 8 = 0
nên có nghiệm t1 = 1 (thỏa) và t2 = c/a = -8 (loại)
Với t = t1 = 1 ta có: x2 = 1 ⇒ x = ±1.
Vậy phương trình (*) có 2 nghiệm là x1,2 = ±1.
* Bài tập 3: Giải phương trình bậc 4 sau:
(x + 2)4 + (x + 6)4 = 32 (*)
* Lời giải:
– Ta đặt:
Suy ra:
Khi đó
Khi đó, phương trình (1) được chuyển về dạng:
2t4 + 48t2 = 0
⇔ 2t2(t2 + 24) = 0
⇔ t = 0
Suy ra: x = -4
* Bài tập 4: Giải phương trình bậc 4 sau:
(x – 2)4 + (x + 1)4 = 17
* Bài tập 5: Giải phương trình bậc 4 sau:
x4 – 5×3 + 8×2 – 5x + 1 = 0
* Bài tập 6: Giải phương trình bậc 4 sau:
x4 – 16×2 + 8 = 0
Hy vọng với bài viết về cách giải phương trình hệ đối xứng bậc bốn và bài tập vận dụng toán lớp 9 ở trên giúp ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại phần bình luận dưới bài viết để mình ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt.
